Killer-Sudoku-Techniken: die Züge, die es im klassischen Sudoku nicht gibt

Jede Zeile, jede Spalte und jeder 3×3-Block in einem Sudoku enthält die Ziffern 1 bis 9 genau einmal. Sie ergeben zusammen 45. Das ist die einzige Tatsache, die diese Technik braucht.

Im klassischen Sudoku ist diese Tatsache nutzlos, weil man nie Summen bekommt. Im Killer liefert jeder Käfig eine Summe. Wenn man eine Zeile findet, in der jeder Käfig entweder vollständig drinnen liegt, vollständig draußen liegt oder genau eine Zelle hinausragt, kann man durch Subtraktion den Wert dieser herausragenden Zelle ermitteln.

Eine Zeile wählen. Jeden Käfig mit mindestens einer Zelle darin abgehen. Die Summen der vollständig in der Zeile liegenden Käfige addieren. Käfige notieren, die die Grenze der Zeile überschreiten. Gehört genau eine Zelle der Zeile zu einem herausragenden Käfig, ergibt sich der Wert dieser Zelle aus: 45 minus Gesamtsumme innen minus dem Teil, den der Rest des herausragenden Käfigs außerhalb der Zeile bereits ausmacht.

Der gleiche Trick skaliert. Zwei benachbarte Zeilen ergeben 90, drei ergeben 135. Wenn das Käfig-Layout auf Einzelzeilenebene ungünstig ist, ist es oft über ein Paar hinweg günstig, und man erhält Zwei-Zellen-Summen zurück, die sonst nicht sichtbar wären.

Das sind die Zellen, die die 45-Regel freilegt, wenn nur eine Zelle aus den Käfigen eines Hauses herausragt.

Ein Innie liegt innerhalb des analysierten Hauses, während der Rest seines Käfigs herausragt. Ein Outie ist das Gegenteil: Der Großteil seines Käfigs liegt im Haus, aber eine Zelle ragt heraus. Die Benennung ist Buchhaltung. Was zählt, ist die Mathematik.

Bei einem Innie ist der innere Beitrag des herausragenden Käfigs unbekannt, aber die übrigen Zellen im Haus kommen aus Käfigen, deren Summen vollständig innen liegen. Der Innie ergibt sich aus: 45 minus Summe aller vollständig innenliegenden Käfige minus dem Teil des herausragenden Käfigs, der bereits berechnet werden kann.

Wenn zwei Zellen statt einer herausragen, funktioniert der Trick immer noch. Man erhält keine Einzelzellen-Antwort; man erhält einen virtuellen Zweizellen-Käfig mit bekannter Summe. Von dort aus sind es Kombinationen.

Die 45-Regel skaliert linear. Zwei benachbarte Zeilen ergeben 90. Drei, 135. Jeder rechteckige Block aus N vollständigen Häusern ergibt N mal 45.

Das spielt eine Rolle, wenn das Käfig-Layout für eine Zeile ungünstig, aber für ein Zeilenpaar günstig ist. Manchmal liegt jeder Käfig entweder vollständig im Paar oder ragt sauber heraus, wobei die herausragenden Teile auf kleine Zahlen begrenzt sind. Man berechnet den Leck für das Paar, nicht für die Zeile, und erhält Einzelzellen- oder Zweizellen-Summen zurück, die auf Einzelhaus-Ebene nicht sichtbar waren.

Ein nützlicher Standard-Scan: einmal für saubere Einzelhaus-Lecks, einmal für saubere Zweihaus-Lecks. Bis man beides gemacht hat, hat man meist genug gefunden, um den Rest der Killer-spezifischen Arbeit überflüssig zu machen.

Eine gesperrte Kombination ist ein Käfig, bei dem Größe und Summe zusammen genau einen Ziffernsatz erzwingen. Ein Zweizellen-Käfig mit Summe 3 muss {1, 2} sein. Ein Vierzellen-Käfig mit Summe 30 muss {6, 7, 8, 9} sein. Es gibt keine anderen Optionen.

Das ist Gold. Der Käfig verrät nicht, welche Zelle welche Ziffer hält, aber er fixiert den Ziffernsatz. Dieser Satz nimmt dann an jeder Sudoku-artigen Einschränkung teil: nackte Teilmengen, Locked Candidates, Zeile-Block-Reduktionen. Ein gesperrter Vierzellen-Käfig am unteren Ende eines 3×3-Blocks beansprucht vier der neun Ziffern des Blocks, bevor eine einzige Zahl platziert wurde.

Die vollständige Liste ist kurz. Man muss sie nicht auswendig lernen; man muss sie auf dem Brett erkennen. Der Spickzettel auf der Käfig-Referenzseite deckt jede gesperrte Käfiggröße und Summe ab.

Gesperrte Kombinationen werden allein durch Größe und Summe erzwungen. Versteckte Kombinationen werden durch alles andere erzwungen.

Nehmen wir einen Dreizellen-Käfig mit Summe 12. Es gibt sieben Kombinationen: {1,2,9}, {1,3,8}, {1,4,7}, {1,5,6}, {2,3,7}, {2,4,6}, {3,4,5}. Wenn auch nur eine dieser Kombinationen unmöglich ist – weil der Block des Käfigs bereits eine 1 enthält oder eine Zeile durch den Käfig die 9 ausschließt –, streicht man sie. Manchmal streicht man sechs, und die siebte ist die Antwort.

Versteckte Kombinationen sind der Weg, wie gewöhnliche Käfige zu nützlichen werden. Die Arbeit ist Buchhaltung. Ein Notizzettel mit den überlebenden Kombinationen unter jedem Käfig ist mehr wert als jeder clevere Trick auf dem Brett.

Ein Killer-Paar sind zwei Zellen, möglicherweise in verschiedenen Käfigen, deren Kandidatensätze identisch sind und aus denselben zwei Ziffern bestehen. Die klassische Naked-Pair-Logik gilt: Diese zwei Ziffern werden von diesen zwei Zellen beansprucht und können aus jedem Haus eliminiert werden, das sie mit anderen Zellen teilen.

Killer-Paare tauchen am häufigsten innerhalb eines einzigen Käfigs auf, wenn die überlebenden Kombinationen des Käfigs alle dieselben zwei Ziffern in denselben zwei Zellen teilen. Sie tauchen auch käfigübergreifend auf, wenn zwei Käfige ein Haus teilweise überschneiden und ihre möglichen Ziffern dieselbe Einschränkung erzwingen.

Die Triple-Version funktioniert genauso mit drei Zellen und drei Ziffern. Über Triples hinaus verallgemeinert sich das Muster weiter, aber der praktische Nutzen sinkt schnell: Ein Killer-Quad zu finden kostet mehr Arbeit als den Rest der Techniken auf der Seite anzuwenden.

Käfig-Splitting nimmt einen Käfig, der eine Hausgrenze überschreitet, und behandelt den Teil innerhalb des Hauses als virtuellen Mini-Käfig mit abgeleiteter Summe.

Betrachten wir einen Fünfzellen-Käfig mit Summe 25, der drei Zellen in einem 3×3-Block und zwei Zellen außerhalb hat. Wenn die beiden Außenzellen durch eine andere Einschränkung auf {7, 8} fixiert sind, müssen die drei Innenzellen 25 minus 15, also 10, ergeben. Jetzt hat man einen virtuellen Dreizellen-Käfig mit Summe 10. Die Kombinationstabelle liefert vier Kandidatensätze: {1,2,7}, {1,3,6}, {1,4,5}, {2,3,5}.

Der Split löst selten direkt Zellen. Was er tut, ist, zwei oder drei Kandidaten pro Zelle zu eliminieren – das ist der Unterschied zwischen einem feststeckenden und einem vorwärtsgehenden Rätsel.

Ein Pseudo-Käfig ist ein virtueller Käfig, der aus Teilkäfigen plus der 45-Regel aufgebaut wird.

Angenommen, Zeile 1 enthält Teile von drei Käfigen: einen Zweizellen-Käfig vollständig in der Zeile, einen Vierzellen-Käfig mit einer Zelle in Zeile 1 und drei Zellen in Zeile 2 sowie einen Dreizellen-Käfig vollständig in der Zeile. Die Zellen von Zeile 1 ergeben zusammen 45. Die beiden vollständig in der Zeile liegenden Käfige tragen ihre vollen Summen bei. Der Vierzellen-Käfig trägt seine volle Summe minus dem bei, was seine drei Zellen in Zeile 2 ausmachen.

Das ist dieselbe Idee wie Innies und Outies, aber anstatt eine einzelne Zelle aufzulösen, konstruiert man einen hypothetischen Käfig aus den übrigen Zeile-1-Zellen. Dieser hypothetische Käfig hat eine bekannte Summe (45 minus die anderen) und eine bekannte Größe (welche Zellen auch immer nicht beansprucht sind). Jetzt kann man Kombinationen auf den hypothetischen Käfig anwenden. Pseudo-Käfige sind der Weg, wie die 45-Regel nützliche Informationen liefert, wenn die Lecks nicht nur eine oder zwei Zellen sind.

Manchmal hat ein Käfig mehrere überlebende Kombinationen, die alle eine Ziffer gemeinsam haben. Nehmen wir einen Dreizellen-Käfig mit Summe 8: Die Möglichkeiten sind {1, 2, 5} und {1, 3, 4}. Beide enthalten eine 1. Was der Käfig auch immer enthält, eine seiner Zellen muss eine 1 sein.

Diese Ziffer kann aus jeder Zelle außerhalb des Käfigs eliminiert werden, die eine Zeile, Spalte oder einen Block mit einer der Zellen des Käfigs teilt (weil die 1 irgendwo innerhalb des Käfigs leben muss und nicht in den Häusern leben kann, die der Käfig bereits abdeckt).

Konsistente Ziffern sind für sich genommen schwach, setzen sich aber gut mit versteckter Kombinationsarbeit zusammen. Sie schalten oft die nächste Runde von Eliminierungen frei.

Große Käfige sind furchtbar aufzuzählen. Ein Siebenzellen-Käfig hat zu viele Kombinationen, um sie zu verfolgen. Der Trick ist, stattdessen sein Komplement aufzuzählen.

Liegt ein Siebenzellen-Käfig in einem 3×3-Block, bilden die zwei Zellen des Blocks, die nicht im Käfig sind, einen impliziten Zweizellen-Käfig, dessen Summe 45 minus die Summe des großen Käfigs ist. Ein Siebenzellen-Käfig mit Summe 38 hinterlässt ein Zweizellen-Komplement mit Summe 7, das nur drei Kombinationen hat: {1, 6}, {2, 5}, {3, 4}. Welche das Komplement auch immer ist, der große Käfig enthält die anderen sieben Ziffern.

Dieselbe Idee gilt für Sechs- und Achtzellen-Käfige innerhalb eines einzelnen Hauses. Man braucht keine eigene Kombinationstabelle für sie; man braucht die Kleinkäfig-Tabellen, die man bereits hat.